Category: образование

Category was added automatically. Read all entries about "образование".

buddha eyes

Приветствие

Здравствуйте.

25.12.2016: Этот журнал переехал на dreamwidth.org.

Не знаю, какой дорогой вы сюда забрели, но раз уж забрели, прочтите сначала это. :)

Мои постинги неравномерны по смысловой нагрузке и тематике, поэтому читать всё подряд не советую - станет скучно, и до действительно интересных постов не доберётесь. Поэтому я маркирую постинги метками. Вот основные:
  • мысль - то, что я считаю на самом деле важным и информативным. Мои мысли об устройстве этого мира (по большей части, нематериальной его составляющей). Таких пока всего семь, наиболее на мой взгляд интересная - Душа и Фейнмановский электрон.
  • подумалось - более мелкие наблюдения о мире и выводы. Таких гораздо больше, они включают в себя и мысли;
  • любопытно - вообще не мои мысли, а то, что я где-то увидел, и что показалось мне интересным;
  • политика - это лучше не читать. :)
  • юмор, афоризм, travels, задачка, дети, лытдыбр - в комментариях не нуждаются.
Для сугубо технических постингов (Cisco, Juniper, unix и пр.) я создал второй аккаунт: gul_tech.
Репосты (показавшиеся мне интересными записи из моей френдленты) кидаю в gul_filtered.


Отдельные постинги, которые мне нравятся и могут вас заинтересовать:
Мне проще общаться на "ты", однако сам я с незнакомыми людьми первым на "ты" не перехожу, т.к. не знаю, как это будет воспринято. Если нормально, можно ко мне смело обращаться сразу на "ты", я отвечу тем же. :)

Комменты к этой записи скринятся.
buddha eyes

О математике

Отсюда

- Но, конечно, бывают исключительные случаи, когда я слышу о научном сюжете и совершенно не понимаю, как это может быть доказано. Несколько раз я слышал или читал про какую-то гипотезу, понимал, что она верна, и думал, что не доживу до тех времен, когда это будет математически строго установлено. Например, есть работы филдсовского лауреата Станислава Смирнова (который почему-то не работает в нашем институте).

— Он довольно тесно связан с нашим институтом.

— Надеюсь; он выдающийся математик. Результаты, которые он получал, не единожды вызывали это чувство: сомнений в истинности утверждения нет ни у меня, ни у многих других, но также совершенно не видно, как же можно это строго установить; я ему даже лично говорил. Я слушал один доклад Смирнова: он рассказывал некоторые шаги, доходил до определенного места, на котором я бы остановился, потому что совершенно ясно, что так ничего не выйдет. А Станислав действовал дальше, и, к изумлению публики, всё получалось. Могу рассказать, в чем дело. У него в задаче участвуют комплексные вероятности. В статистической физике и теории вероятностей есть место, где часто нужно устанавливать факт, что вероятности, для которых пишутся формулы, вещественны и положительны. Иначе никогда не делается. А Смирнов пишет про фермионные наблюдаемые, и там у него явно возникают комплексные вероятности. По мне, их нужно выбросить и забыть. А он их не боится. По своей природе (и благодаря незнанию) он понимает, что можно продвинуться дальше, и действительно, эти продвижения не раз и не два были совершенно замечательные.

— Такой физический подход к математике? Классический пример: ввели дельта-функции, хотя ясно, что дельта-функций не может быть. Потом им придали смысл совершенно другим способом. А физики с ними оперировали довольно давно…

— Смирнов так и говорит. Он физические статьи читает и утверждает, что их не надо понимать, а надо над ними медитировать (употребляет это слово). Действительно, он этот процесс реализует, и очень успешно. Его работы, в частности, я разбирал подробно — это чудо, которое хочется знать во всех подробностях.

— И логические шаги там безукоризненны?

— Да, конечно.

— А комплексные вероятности? Они вводятся без всякой аксиоматики?

— Не в этом дело. Объекты, что там получаются, можно не называть вероятностями. Но если бы они (положительными) вероятностями являлись, то я мог бы пользоваться своей вероятностной интуицией. А те объекты, которые возникают у него, хотя и определяются явными точными конструкциями, но вероятностями не являются. Поэтому я про них думать не умею. А он с ними обращается настолько, насколько с ними возможно обращаться строго, и получает результаты, которые мне казались недостижимыми.


Подумал: не тот ли это Смирнов, с которым я пересекался на математических олимпиадах в школе?
Оказался тот

Собственно, к чему это я. В школе я задумывался о том, как решаются математические задачи, что в это время происходит в голове, и почему это по-разному даётся разным людям. То, что есть люди более и менее талантливые, более и менее натренированные, разное количество связей между нейронами, разный объём активных аналогий - это, конечно, понятно. Но это не весь ответ.

Математика (как, впрочем, и современная теоретическая физика) оперирует абстрактными объектами. Человек не может думать формулами. Переставляя символы по заданным законам, не решить даже простейшую математическую задачу. Формулы нужны, во-первых, для передачи информации другим, а во-вторых, для проверки строгости. Примерно как слова в языке нужны для передачи смысла и для того, чтобы зафиксировать мысль. А думает человек в других объектах. И вот, для того, чтобы думать об абстрактных математических объектах, человеку нужно их как-то себе представить, построить для них модель. Человек видит условие задачи, понимает его (т.е. переводит в объекты своей модели), решает задачу, после чего переводит решение обратно в формулы и символы для объяснения другим. Это происходит неосознанно, и если специально за этим процессом не наблюдать, его можно не заметить. А наблюдать не очень просто, потому что мозги ведь заняты другим.

Фишка в том, что эти модели у разных людей могут быть разными, и разные модели по-разному подходят для разных задач. Чья-то модель эффективна для теории множеств и оперирования различными бесконечностями, чья-та для топологии и многомерных пространств, чья-то для теории чисел, чья-то для алгоритмов... Например, нередко слышал, что для школьников, показывающих хорошие результаты на олимпиадах, геометрические задачи являются провальными. То есть, если есть не очень сложная геометрическая задача, то её ещё можно решить, а если сложная - всё, провал. Собственно, и у меня было именно так. Для геометрии (я имею ввиду школьную, конечно) интерпретация изначально задана и для всех одинакова, отличия могут быть лишь в нюансах. Поэтому и результаты в решении геометрических задач получаются средними. Этим же можно объяснить разницу в эффективности программистов: известно, что хороший программист эффективнее среднего программиста не на немного, а в разы.

Тут можно вспомнить про индийского математика Рамануджана, про которого снят хороший фильм "Человек, который познал бесконечность". У него явно была собственная и эффективная модель теории чисел, но недостаток образования для того, чтобы записывать свои решения на строгом математическом языке.

Ещё есть красивая история про Эйнштейна. Когда он преподавал в Принстонском институте, однажды, прийдя на лекцию, он сказал: "Вот тут опубликована новая статья Бора (кажется), и он получил вот такие-то выводы. Они интересны, давайте я вам напишу". После чего выписывает на доске формулы из статьи, попутно их комментируя. Расписав формулами всю доску, подводит итог: "И вот, исходя из этих постулатов, он приходит к таким интересным выводам". Студенты завороженно смотрят, выводы действительно интересны. Через некоторое время Эйнштейн говорит: "А теперь найдите ошибку". Студенты опешили. Ошибку, у Бора? В опубликованной статье, в серьёзном рецензируемом журнале? "Что, никто не видит? Вот же: тут минус, а в следующей строчке при преобразовании он его потерял и написал вместо этого минуса плюс". Студенты в шоке. Так что, вся эта новая красивая теория Бора неверна из-за такой нелепой ошибки? Эйнштейн успокаивает: "Нет, конечно, всё хорошо. Вот тут, через две страницы, он этот плюс меняет обратно на минус, и результат получается верным".
Бор сделал ошибку при переводе объектов своей модели на язык формул. Но зная, что должно получиться в итоге, он подсознательно исправил эту свою ошибку. Он ведь не формулами мыслит, формулы - лишь средство выражения.
buddha eyes

Применение математики

Эта история может быть интересна школьникам, ну а вдруг и не только школьникам, мало ли.

Когда мы в школе проходили кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола), учитель задал домашнее задание: привести пример применения этих кривых (их свойств) в реальной жизни. Я пришёл с этим вопросом к своему папе, и он мне рассказал пример применения гораздо интереснее, чем рефлектор фонарика или акустика в помещении, и малоизвестный.

Во время блокады Ленинграда немцы обстреливали город дальнобойными орудиями. Перед защитниками города стояла задача обнаружить огневые точки, чтобы уничтожить их. Но как это сделать? Авиацией - глухо, в небе хозяйничали немцы. И вот тут пригодились свойства гиперболы.

Гипербола - это не только график функции 1/x. У неё есть оптическое свойство: свет, выпущенный из одного фокуса, после отражения направлен так, как будто был выпущен из другого фокуса. Но в данном случае важно не это. А то, что гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) одинакова.

В разных районах Ленинграда поставили микрофоны (или, точнее, сейсмодатчики, улавливающие колебания грунта), связанные между собой по телефону. В момент залпа микрофоны регистрировали время, когда к ним пришёл звук. Скорость распространения звука по земле известна с достаточно хорошей точностью, поэтому разница во времени между приходом звука к разным микрофонам давала информацию о разнице расстояний от огневой точки до микрофонов. А это гипербола с фокусами в месте расположения микрофонов. Каждая пара микрофонов даёт ветку гиперболы, всего их три штуки. В точке их пересечения и находится вражеская артиллерия.
Гиперболу на карте было точно построить трудно, но поскольку огневая точка находилась достаточно далеко, вместо гиперболы рисовали её асимптоты - это существенно упрощало построение и практически не ухудшало точность.
buddha eyes

Занимательная физика

Знаете ли вы, что π2 ≈ g (пи в квадрате приблизительно равно ускорению свободного падения) - это не просто совпадение?
Выглядит нелепостью, ведь π - математическая константа, а g - свойство только нашей планеты, да ещё и отличающееся на разных широтах и высотах. И тем не менее.

Как мы все (наверное) помним со школы, период колебания математического маятника не зависит от массы груза, а зависит только от длины нити и ускорения свободного падения, и определяется по формуле

T = 2π√(L/g)

Если определить метр как длину нити математического маятника с полупериодом одна секунда, ускорение свободного падения (выраженное в таких метрах) будет в точности равно π2.
Именно так когда-то давно и был выбран метр.
Потом было много разных формальных определений метра (через длину Парижского меридиана, через платиновый эталон, через длину оранжевой волны спектра криптона, через скорость света), потому что ускорение свободного падения колеблется в очень уж больших пределах в разных точках земного шара. Но вот о том, что когда-то метр был взят через маятник, и до сих пор его можно найти таким простым способом с неплохой точностью, я не знал.
gul

Как правильно учить детей

Знания - это не просто информация в памяти, это ассоциации, связи. То, что даёт возможность эту информацию эффективно применять.
Восьмилетний ребёнок может заучить фразу "Переход от ламинарного к турбулентному потоку происходит при достижении числа Рейнольдса приблизительно 2300", и это будет типичный пример формально правильной, но совершенно бесполезной информации, лишённой ассоциаций, т.к. ребёнок не знает ни одного термина из этой фразы. Это не знание, а просто заученная фраза. Которой часто бывает достаточно для приличной оценки на экзамене.

Процесс построения ассоциаций медленный. За два часа никакие связи не построятся, максимум - найдутся аналогии с уже имеющимися ассоциациями. Не случайно кто-то сказал, что математик находит аналогии между аналогиями. В системе образования, как правило, термин вводится сразу вместе с его строгим определением и свойствами, в результате чего школьникам приходится зазубривать определения или теоремы. Ведь ассоциации появиться ещё не успели. А потому и возникают проблемы с решением нетрудных задач, даже когда все необходимые теоремы и законы заучены: они-то заучены, но к ним не построены необходимые связи.

Как мне кажется, гораздо более эффективной была бы другая схема образования: сначала вводятся термины без точных определений и строгих доказательств, описательно, но без некорректных упрощений (функция, электрический ток, энергия, нервная система, даже интегрирование, основы квантовой физики и теории относительности можно на пальцах объяснить десятилетнему ребёнку), а потом, следующим кругом, к этим понятиям на уже успевшие появиться связи, даются более точные определения и более глубоко изучаются свойства. И делаются задатки на третий круг: при изучении функций в школе даётся общее представление о ТФКП, интегрирования - упомянуть про интегрирование по Лебегу, поверхностные интегралы, в школе же в общих чертах нужно рассказать и о проблемах Единой теории поля, и о теории струн, и т.д.

Подход строгих определений настолько въелся в наши мозги, что многие даже не понимают, как же объяснить ребёнку, что такое "функция" или "производная". А это ведь значит, что и у взрослых нет полного понимания, а так и остались только заученные определения и формулы, позволяющие решать школьные задачки (производная суперпозиции функций, интегрирование по частям и т.п.), но не позволяющие применять эти понятия в жизни, вещь в себе. А ведь ничего трудного: функция (зависимость) температуры от времени года, функция желания съесть конфету в зависимости от количества съеденных конфет, производная (скорость изменения) количества денег в мамином кошельке от времени после зарплаты и т.п. Если ребёнок сможет эти понятия использовать заранее (пусть и не сможет формально правильно их сформулировать), в школе у него не возникнет вообще никаких проблем с усвоением этих тем, потому что ассоциации (связи) дли них уже будут готовы, и зубрить ничего не придётся. Если человек понимает, что такое предел, выучить определение предела по Коши или по Гейне - не проблема. А если не знает, то, глядя на эти строгие и формальные определения, осознать понятие предела будет очень трудно.

Лена (восемь лет) недавно спросила, почему в розетке ток, который может ударить, как это он ударяет. С большим интересом послушала ответ про строение вещества (молекулы, атомы), температуру, ионы, нервную систему, передачу сигналов мышцам... И это было совсем не как "папа, а с кем ты разговариваешь?" Примерно час общения - и, я уверен, у ребёнка будет гораздо лучше с пониманием этих тем в школе, потому что в мелком возрасте связи строятся очень хорошо.
buddha eyes

Про школьное образование

Недавно полистал школьный учебник по истории. Занудство и скукотища!
Я понял, почему мне в школе не нравилась история. А ведь можно же
преподавать её интересно, ярко, чтобы тезисы вроде необходимости перехода
от рабовладельчества к капитализму в таком-то регионе были не сами по себе,
а основаны на конкретных событиях, личностях...
Collapse )
buddha eyes

Образование

Недавно с друзьями говорили о том, как изменился уровень образования за последние лет 15, и вспомнилась такая смешная история.

Студенты МФТИ (физтехи) традиционно конфликтовали с местными жителями Долгопрудного, где располагался их институт - с долгопами. И вот при очередном витке конфликта физтехи решили отомстить за пострадавших товарищей, и наказать долгопов, идущих домой с московской электрички. Нужна лишь мелочь: отличить физтеха от долгопа, чтобы свои не получили. Критерий был выбран следующий: у проходящих спрашивали интеграл от синус минус икс dx. Не без оснований считалось, что физтеху в любом состоянии (даже заплетающимся языком) не составит труда ответить и пойти дальше, а долгоп на этот вопрос не ответит.
Когда мне это рассказали, я спросил: "А зачем минус икс?" Ответ был таким: "Но ведь интеграл от синуса и долгоп ответит, а с минусом уже запнётся или ошибётся". Люди искренне думали, что обычный житель обычного подмосковного посёлка, занимающийся гоп-стопом, может сходу назвать первообразную синуса!
Collapse )